数载磨一剑，且看凌云志 | 专访ICM2022受邀报告人朱小华老师
发文时间：2021-09-27 撰稿人：王亮、张科伟
编者按：国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的学术会议，每四年举行一次。开幕式上将颁发“菲尔兹奖”等世界著名的数学大奖。大会上，将有来自世界各地的著名数学家受邀作学术报告，分享他们在各自领域中取得的重大科研成果与进展。ICM报告人身份是极高的学术荣誉，是一个数学家的工作获得国际学术界认可和关注的重要标志。2022年7月，第29届国际数学家大会将在俄罗斯圣彼得堡举行。welcome欢迎光临威尼斯公司数学学科鄂维南院士受邀作1小时报告；朱小华、章志飞、董彬、刘毅四位教师受邀作45分钟报告。另有8位北大数学校友将作45分钟报告，他们分别是：丁剑、李驰、刘钢、汪璐、王国祯、徐宙利、周鑫、朱歆文。我们特别策划“北大数学ICM2022报告人专访”，分享他们的数学研究经历与感悟。
welcome欢迎光临威尼斯公司教授、博士生导师朱小华收到邀请，将在俄罗斯圣彼得堡召开的2022年国际数学家大会作45分钟邀请报告。谈及受邀成为国际数学家大会报告人，朱小华难掩自豪，“这是对自己二十多年来数学研究工作的肯定! ”能得到国际顶尖同行的认可，是每一位数学工作者最大的心愿。
在明年圣彼得堡的大会上，朱小华准备报告有关凯勒几何的里奇流。像三维里奇流用来解决举世瞩目的庞加莱猜想，里奇流能对凯勒几何研究带来新的动力。
在朱小华看来，做研究一定要选择做重大的、有挑战性的问题，因为持之以恒地做下去，一定会有突破，会产生新的思想，形成独创的成果。
深耕几何领域几十年，他发现了什么？
在二十多年的数学研究中，朱小华致力于微分几何中几个重要的研究方向：复几何中的典则度量、里奇流、高维里奇孤立子等，取得了重要成果，解决了多个著名的数学问题。已在国际著名数学杂志发表论文50余篇，包括Acta Math, JAMS等顶尖数学杂志的文章。
2000年，他与人合作证明了紧致复流形上凯勒-里奇孤立子的唯一性。该工作推广了80年代两个日本数学家Bando-Mabuchi有关凯勒-爱因斯坦度量的唯一性定理，被有关专家称为凯勒几何中一个主要突破"a major breakthrough" 。论文发表在顶尖数学杂志Acta Math，是上世纪50年代中期以来国内学者首次在此杂志发表论文。
2007年, 他与人合作证明了凯勒-爱因斯坦流形上有关凯勒-里奇流收敛性的Hamilton-田刚猜测。论文发表在顶尖数学杂志JAMS。
2019年，他与人合作完全分类了曲率线性衰减情形的高维非塌缩稳态里奇孤立子，被有关学者称为在稳态里奇孤立子研究方面至今最强的结果，相关论文发表在欧洲数学会著名杂志JEMS。
2005年朱小华获ICTP奖
最近这些年，复几何的热点持续升温，主要是围绕丘成桐-田刚-Donaldson猜想。从大量的研究文献中不难发现，凯勒-爱因斯坦度量是复几何研究中最重要的对象。早在90年代初，读研究生时，朱小华就被复几何的发展成果所吸引。进入北大以后，朱小华在张恭庆、丁伟岳、田刚等著名数学家影响下，对凯勒几何研究的兴趣与日俱增。他对凯勒里奇孤立子的研究，正是在田刚老师的指导下开始的。凯勒里奇孤立子既有几何的背景又有方程的非线性特征，研究起来难度很大，早期进展较缓。后来随着里奇流研究的影响，作为奇点的模型和里奇流最主要的研究对象，孤立子逐渐受到重视，需要新的研究方法。朱小华在北大博士后期间完成的解决凯勒-里奇孤立子的唯一性工作，就是同田刚院士合作，把当时波兰数学家Kolodziej有关多复变的位势理论方法成功应用到复蒙叶-安倍方程上，得到了方程解关键的一个零阶先验估计。
在复几何的研究中，几何例子构造是一个绕不开的话题，朱小华对这一点深有感触。他认为几何最关心的，一个是刚性，一个是分类。刚性研究就是唯一性问题，就像物理上好多问题的研究，需要找标准模型，比如庞加莱猜想，就是研究三维拓扑球是否就是我们欧氏空间中的标准三维球面。如果找不到例子，大家就会朝着刚性的方向去做；如果能找到一大类例子，大家又会关心分类问题。所以例子的存在性以及多少在某种程度上就会左右人们的研究方向。然而在几何上想对分类性问题研究，往往工作量非常大，所以大家最关心的其实还是刚性问题。刚性问题研究，往往与找反例思维有关。如果能找到反例，几乎意味着你研究的问题已经完全研究透了，而且还能发现新的意想不到的成果。
谈及复几何未来的发展方向，朱小华给出了多条可能的发展路径。就他研究的凯勒几何而言，随着丘成桐-田刚-Donaldson猜想的解决，人们对凯勒-爱因斯坦流形有了深入的认识。但是许多基本的，深刻的问题仍不清楚，比如怎么完全分类三维的Fano凯勒-爱因斯坦流形，这可看作田刚院士90年代有关二维的Fano凯勒-爱因斯坦度量的著名工作的三维推广。
其实复几何的研究是非常丰富的。与凯勒几何相关的有非凯勒几何，许多人在研究怎么把凯勒几何中著名的Calabi-丘方程推广到具有物理背景的非凯勒几何上，但由于有不同方向的推广，故而暂时还不清楚这些推广之间有没有一个统一的理论可以描述。
从做研究生、博士后，到北大做教师，朱小华也谈到科研上的困难。他是这样辩证看待的，“困难不困难其实也要看你定的目标。如果你定一个很高的目标，那自然要付出艰辛的努力，但是实现目标也会获得成倍的快乐。”
从懵懂到成熟，他如何一步步成长？
朱小华对微分几何的兴趣由来已久，早在杭州大学（现浙江大学）念本科期间，朱小华就主修了很多微分几何的课程。杭州大学在当时是我国可数几个微分几何研究基地之一。后来他留在那里攻读博士生，在两位导师白正国先生和沈一兵先生指导下从事微分几何研究。五年的刻苦努力为他打下了扎实的数学研究基础和数学思维方式。期间，他曾与沈一兵先生合作证明了欧氏空间中具有有界全曲率完备的稳定极小超曲面一定是个超平面的一个刚性定理，这个结果把法国数学家Berard在1991年在维数≤5证明的工作完整地推广到一般维数。
1997年朱小华进入北大数院，在张恭庆院士的指导下做博士后研究。北大的学术氛围和数院强大的科研队伍深深的吸引了他，这让年轻的朱小华深感振奋，他立志也要做出非凡的成果。那个时候，他参加了张恭庆和丁伟岳老师领导下的多个讨论班。有时候一周期间，他在北大和中科院两边跑，像个旁听生参加讨论班活动，特别是张恭庆和丁伟岳的几何分析讨论班对他影响很大。他后来研究的里奇流，最早就是在那时的讨论班上接触到的。
与这些著名数学家接触得多了，朱小华慢慢意识到了哪些问题是重要的，同时也开始专注于一两个问题的深入研究。前辈们的指导使他终生难忘，同时也促使他在博士后深造后选择了北大数院作为自己的研究平台。
当时的北大数院师资力量雄厚，科研氛围和工作节奏深得青年研究者的喜爱，也成了朱小华的首选。尽管后来在国立澳大利亚大学数学研究中心做过两年的研究员工作，但他还是想在国内做出更多、更深刻的数学工作。
如今，北大数院教研环境发生了翻天覆地的变化，特别是在2005年，北大成立了北京国际数学研究中心，引进了很多优秀的青年人才，带来了新的前沿科研活力，极大地促进了北大数学学科的发展，朝着建成世界一流学科跨步迈进。朱小华对引进人才充满了期待，他认为一定要充分发挥年轻教师的生力军作用，专注重大问题，开展独创研究，从而带动中国的数学水平再上一个台阶。
既是学者也是良师，他如何谈教育？
朱小华不仅十分关注北大数学学科的建设和发展，还特别重视对学生的培养。北大数院学生的才华给朱小华留下了深刻的印象。他对这些年轻学子给予了很高的期望，他希望北大学生能充分利用基础好的优势，在本科高年级阶段发掘自己的数学研究兴趣，开展独立思考，立志在将来的数学事业做出原创性的成果。
为了提高学生的数学研究兴趣，朱小华推荐他们多去参加讨论班及学术报告。因为学生的课程很多，所以自学数学专著在时间上不太可能，开设讨论班进行系统研究就成了一个不错的选择。朱小华尤其鼓励学生参加周五学术报告会，因为会上邀请的往往是数学界的大牛，他们会讲各个方向的综述。这对年轻学子来说是一个绝佳的机会，因为他们知道了哪些问题是重大的，哪些问题是值得继续研究的。学术报告上专家的风采也会潜移默化地影响学生们，让他们知道，国内也有非常厉害的数学家，国内也可以做出一流的成果。
对于很多学生反映学术报告太过前沿，内容艰深难懂，朱小华也给出了解决方案。他动情地回忆起了当年老师教给他的方法，“不懂就把它抄下来，数学就是要反复体会”，“反复体会”四个字言简意丰，每个学科都有自己的看家本领，都有一整套的系统研究方法，几代人发展积累的成果显然不可能在短时间内就掌握，所以他勉励年轻学生，“要反复体会，碰到困难不重要，关键是要脑子里放着，老是记着，这是最重要的。”
朱小华老师在北大课堂上
指导学生进行科研，朱小华也有独特的心得。作为博士生导师，他指导过很多博士生，他们中的一些人已作出非常出色的工作，成为高校、科研单位的年青骨干。在指导过程中，他最大的经验就是，“导师主要起到给方向的作用，有时也可以出出点子，但最关键的还是要靠学生慢慢开窍，独立思考问题。”朱小华反复提到要独立思考，即使是已有的学术成果，证明方法也不一定是唯一的，也许还有改进的地方，还可以做得更圆满一些。而且从长远发展来看，学术研究是要在未知领域持续不断进行探索，问题会随着研究的进展而不断发展变化，所以想搞好学术研究，一定要养成独立思考的习惯。
近年来，国家十分重视基础学科的建设和发展。习近平总书记在两院院士大会上对基础学科建设提供了新的指导方针，“高水平研究型大学要发挥基础研究深厚、学科交叉融合的优势，成为基础研究的主力军和重大科技突破的生力军。”朱小华对这一点感受颇深，他特别强调整个社会要创造一个科学的环境，培养一种科学的思维。在他看来，做基础数学研究要脚踏实地，要对自己发表的文章负责，要有一种科学认真的态度。对于目前部分关键核心技术受制于人的局面，朱小华也从基础学科研究的角度提供了新的看法，“科技创新遇到瓶颈，关键还是在于基础学科的原创性不够。引进国外先进科技固然可以解决一时之需，但是成品的东西就像一个黑箱，你不清楚制造过程，不清楚底层逻辑，是完全没办法进一步突破，更上一层楼的。”只有进行原创性的基础研究，才有可能发现新的路径，实现科技上的跃迁。
对于国内的教育，朱小华也谈了谈自己的想法。他肯定了国内K12教育取得的成绩，学生们的基础都非常扎实，同时他也指出了国内基础教育的一些不足，比如科学上的启迪还不够丰富有趣等。他认为高中以前的教育要注重培养孩子的性格，培养孩子的兴趣，不必急于教会孩子各种高级的技巧。老师们也应多花时间，注重个性化、差异化的培养，让每一个孩子都能健康快乐地成长。对于大学和研究生阶段的教育，朱小华坦言，国内研究生培养水平与国际一流水平还有一定的差距，因为国内大多数的学科设置都是学别人的，缺少独立的研究方向，跟在别人后面亦步亦趋难以获得独创性的积累。为此，他呼吁有能力的年轻人，一定要珍惜时间，在本科高年级阶段就开展科学研究。信息时代知识的来源很广，本科生不必像过去一样按部就班地学习，要主动去学习新的知识，提前去学自己感兴趣的东西。
十九年前的2002年，第24届国际数学家大会在中国北京举行。这届大会是新世纪第一次，也是发展中国家第一次举办的大会。彼时朱小华在微分几何领域的两位引路人田刚和丁伟岳分别受邀作大会一小时报告和45分钟邀请报告，这让年轻的朱小华深受鼓舞，也更坚定了他继续在数学研究方面专注重大问题、开展独创研究的信心和决心。
2022年，朱小华也将站在国际数学家大会的讲台上，继续向世界传递中国数学家的声音，这是中国数学家的传承，也是中国数学生生不息、继往开来的见证。初心不改，薪火永续，一代代中国数学家们在数与形之间苦苦求索、穷究真理，必将带领中国数学走向新的峰巅，续写新的光荣与梦想。
