编者按：国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的学术会议，每四年举行一次。开幕式上将颁发“菲尔兹奖”等世界著名的数学大奖。大会上，将有来自世界各地的著名数学家受邀作学术报告，分享他们在各自领域中取得的重大科研成果与进展。ICM报告人身份是极高的学术荣誉，是一个数学家的工作获得国际学术界认可和关注的重要标志。2022年7月，第29届国际数学家大会将在俄罗斯圣彼得堡举行。welcome欢迎光临威尼斯公司数学学科鄂维南院士受邀作1小时报告；朱小华、章志飞、董彬、刘毅四位教师受邀作45分钟报告。另有8位北大数学校友将作45分钟报告，他们分别是：丁剑、李驰、刘钢、汪璐、王国祯、徐宙利、周鑫、朱歆文。我们特别策划“北大数学ICM2022报告人专访”，分享他们的数学研究经历与感悟。
在刚刚得知自己得到邀请，将在明年的国际数学家大会上做45分钟报告时，章志飞感到很惊讶，也十分激动，惊讶的是自己的工作得到了国际同行的认可，激动的是他十分期待在这个数学界规模最大、规格最高的国际盛会上，同全世界最优秀的数学家们分享自己近年来在流动稳定性的数学理论方面的工作。这个日常生活中随处可见的古老物理学问题至今依然有很多挑战问题尚未解决，如流动的转捩问题、湍流问题等。她让无数物理学家和数学家为之倾倒，而章志飞幸运地获得了她的部分垂青。
用数学描述流动
流体的稳定性问题起源于英国物理学家雷诺（O. Reynolds）对管道中流体运动的研究。在1883年，雷诺进行了非常著名的管道流体实验，发现流体会表现为层流还是湍流的性质和一个后来被称为雷诺数的无量纲物理量有关。当雷诺数较小时，流体会处于层流状态，而当雷诺数超过某个临界值时，流体会处于湍流状态，从层流到湍流的变化过程被称为转捩。如何对流体从层流转捩为湍流这一物理过程进行科学解释，至今仍然是物理学家非常关注的一个问题。相较于其作为物理学问题的古老历史，层流——湍流转捩的问题得到数学家重视则是近十年内的事。
章志飞进入这个领域时，考虑了一些与流体方程稳定性相关的数学问题，包括无粘阻尼问题、增强耗散问题以及边界层问题等。开始他并没有期望这些问题可以和流动稳定性的转捩机制相关，但后来他逐渐意识到它们其实是影响流动稳定性的重要物理机制。在之前一系列研究的基础上，章志飞与陈琦、韦东奕合作对库埃特（Couette）流的情形否定了转捩阈值猜测。这个猜测是由英国皇家学会会士特雷弗腾（Lloyd N. Trefethen）等人在1993年发表在《科学》杂志上的论文中首先提出的。他们指出，在流动稳定性中需要考虑算子的非正常性所带来的瞬态增长效应。不同于量子力学中一般考虑的都是自伴算子，流动稳定性中遇到的大多算子是非自伴的。对自伴算子，它的动力学形态可以完全由它的谱刻画；对非自伴算子，即使它的谱是稳定的，在动力学性态中依然会产生不稳定性。而为理解流动的转捩机制，Trefethen等人提出了转捩阈值问题。对流体的扰动可以用吸引集的概念来描述，如果扰动落在吸引集内，则流体的运动最终会收敛到平衡态方程。而随着雷诺数的增大，扰动的吸引集会越来越小，意味着流体对扰动愈发敏感。这种扰动的程度与雷诺数的关系可以用被称为转捩阈值的常数描述。基于线性和非线性机理分析，Trefethen等人猜测稳定剪切流的转捩阈值应该是大于1的某个常数。经过章志飞与合作者的努力，证明了库埃特流的转捩阈值小于等于1，进而否定了该情形下的猜测。
回顾章志飞的研究经历，可以发现他近年来在流动稳定性的数学理论方面取得的一系列进展，与他一直以来对流体方程的广泛探索密不可分。博士期间，在浙江大学师从王斯雷教授学习调和分析的章志飞就开始在导师的指导下关心调和分析在偏微分方程研究中的应用。
研究生时期的章志飞
调和分析的基础理论在上世纪后期得到了长足发展。进入本世纪初，人们转而关注调和分析与其他数学领域的结合，将调和分析方法应用于偏微分方程的研究就是一个热门的方向，包括两位菲尔兹奖获得者布尔盖恩、陶哲轩等都曾研究过其在薛定谔方程等色散方程中的应用。在王斯雷老师的讨论班上，了解了调和分析及其诸多应用的章志飞选择了流体方程作为自己施展调和分析理论威力的主要对象。在当时，这样的选择更多出于学生时期偶然的兴趣萌发，不过回顾当时的选择，他认为流体力学的数学方程同时具有深刻的物理背景和数学挑战性，是很有吸引力和生命力的研究课题，值得他为之付出精力和热情。在博士后期间，来到中科院，刚刚开始踏足科研的章志飞就与自己的合作导师张平尝试解决有旋水波问题的适定性问题。数学家邬似珏在上世纪九十年代末利用调和分析的方法解决了无旋水波的问题的适定性，这给了张平和章志飞利用调和分析方法解决有旋水波问题的信心。最终，他们成功解决了这个问题，该成果被发表在知名数学期刊CPAM上。这是一个非常令人满意的研究生涯的起点。
在后续的研究过程中，他也广泛地关注并解决了一系列流体方程中的公开数学问题，例如开尔文-亥姆霍兹（KH）不稳定性问题和液晶数学理论的一致性问题。开尔文-亥姆霍兹不稳定性可以用来解释自然界中波状云的形成。在1953年，苏联物理学家西罗瓦茨基（С. И. Сыроватский）发现了磁场可以抑制KH不稳定性，并提出了相应的线性稳定性条件。而在该条件下，非线性稳定性依然没有得到理论证明。受水波方程研究的启发，章志飞与孙永忠、王伟合作，给出了磁场抑制KH不稳定性的第一个严格数学证明。与典型的流体略有区别，液晶是一种介于流体和晶体之间的物理形态。如何描述它的物理性质可谓横看成岭侧成峰。液晶有三个基本的数学理论：Doi-Onsager理论，Landau-de Gennes理论和Ericksen-Leslie理论就是从不同的物理观点出发描述液晶的物理性质的理论。就像用三种方法证明一道题目一样，一个朴素的信念是，描述同一个对象的理论之间应当是等价的，但这些理论之间的联系并不容易建立。章志飞与王伟、张平文合作，证明了在液晶无缺陷的情形下，这三种理论的数学描述是严格等价的。
章志飞在莫斯科伟大数学家照片前的留影
在追求对流体力学方程更深刻认识的二十余年中，章志飞认为，一个很重要的问题是如何选择自己认为有意义的课题。在刚开始研究时，出于对更纯粹的数学结构的偏好，他更关心Navier-Stokes方程的正则性问题。这是数学界著名的千禧年问题，至今数学界尚未发展出有效的数学方法，抑或看到它的深层次结构。于是随着探索的深入，在该方向上遇到瓶颈的他开始思考如何选择更能激发自己兴趣的课题。在与张平文老师合作解决液晶问题的过程中，他意识到了自己的研究兴趣会更倾向于同时具有数学结构的美感与深厚物理背景的问题。在不断的探索中，他在近年来逐渐走进了流动稳定性这个在物理学中具有悠久历史的领域，并且利用自己积累的丰富数学工具，为推动人们更好理解层流-湍流的关系做出了坚实的贡献，并得到了国际同行的认可。
2007年章志飞访问美国Courant研究所
在谈及自己丰富的研究成果时，章志飞认为相对于高效的科研产出，自己的研究状态还是比较平稳的。他对博士后导师张平老师的教导深以为然：“做研究就是‘浪费时间’的过程”。因科研进展缓慢而深感时光飞逝的痛苦几乎是每个科研工作者不可避免的折磨，即使读书学习也总有日积跬步的喜悦，而科研一日无成简直是家常便饭。所以在漫长的科研生涯中，接纳这种“浪费时间”的感觉，将精力和认知资源集中在科研工作本身是非常必要的。章志飞的许多研究都经过了非常漫长的研究和论文撰写过程，例如KH不稳定性的工作，他与合作者就用了至少两年来完成。而在液晶问题的攻关阶段，在长达一年的时间里，他们经常要到张平文老师的办公室讨论问题。在学术成果“高产”的背后，章志飞的耐心和韧性给了他的研究坚实的支撑。
努力建设数学学科
回到2005年，刚刚博士后出站的章志飞收到了welcome欢迎光临威尼斯公司的录用通知，来到北大担任welcome欢迎光临威尼斯公司讲师。当时welcome欢迎光临威尼斯公司的薪资还比较低，但章志飞看到了北大数学作为国内顶尖数学研究机构所拥有的丰富学术资源和良好的发展前景，于是下定了决心。来到北大之后，他愈发相信自己的选择是正确的。初入北大的章志飞就感受到了学院对青年学者的支持。宽松的学术环境就是一个很重要的侧面，没有硬性的每年若干篇论文发表要求或者申请基金的要求，可以让青年学者把精力更多地投入到数学研究本身中去，可以根据自己的兴趣和节奏进行数学研究，这样反而更容易产出丰富的学术成果。另一方面，悠久的学术积淀也给了青年学者们相互交流讨论、碰撞思想的平台。当身边的同事都在努力进步的时候，自己也会获得前进的力量。在丁伟岳、张恭庆、田刚、张平文等学术前辈的关心和支持下，章志飞快速地开启了自己的研究生涯。
来到北大的十六年里，章志飞也感受到了国内数学研究日新月异的变化。在他的研究早期，因为国际交流的客观条件限制，能接触到的前沿数学十分有限，而且时间上也比较滞后，很多国外的工作可能在发表几年之后才能在国内看到。但现在人们可以在互联网上实时接触到最新的数学，国际的学术交流也非常便捷，无论是线下还是线上。同时随着优秀的华人数学家选择回到中国从事数学研究，国内数学的师资力量也在逐步提升。在这些因素的共同作用下，一些完全在国内培养的青年数学家也崭露头角，章志飞就是其中的典型代表。他认为如关启安、郭帅、韦东奕等同他一样在本土接受学术训练并取得重大成果的青年数学家的涌现，意味着不断发展的中国数学已经逐步具备了把好的学生留在国内并培养为优秀数学家的能力，这是非常大的进步。
在这些进步中获益匪浅的章志飞，也一直渴望把自己在学术道路上得到的帮助和关怀传递给下一代青年学子。作为分管研究生事务的副院长，他十分重视学院的研究生培养。他认为，学院层面最重要的工作就是给研究生创造良好的环境，让好的学生能够真正静下心来做一些比较深刻的研究。目前学院完成奖助学金体系改革之后，博士研究生都有足以覆盖学费和日常生活的奖助学金，可以毫无负担地安心从事学术研究。在评奖评优方面学院也在避免唯论文发表的评价标准。在评选奖学金时，学院不看重发表论文的数量，只要有比较深刻的工作，哪怕论文没有发表，也可以获得奖学金。学院组织的科研展示会，学院任何同学都可以参加，参会的同学甚至不要求论文已经发表，即使带着科研工作的部分进展也可以和学院的老师同学分享。另一项重大举措是为学院的博士研究生提供了良好的学习科研环境。19-21楼在修缮后投入使用，为同学们创造了良好的学习科研环境。
章志飞老师在北大课堂上
在行政职责之外，章志飞还是更享受自己作为教师的工作。他十分喜欢教授研究生课程，而且喜欢挑战不同的课程。他会讲调和分析、泛函分析、半经典分析、双曲方程、也经常开设前沿专题课程。一方面他认为多样性的选题可以让学生接触到更新更前沿的数学，另一方面也给了自己反复消化这些选题，并产生新的灵感的机会。而在指导研究生时，他最注重培养学生的信心。他认为很多学生能力很强，足够完成一些科研工作，但很多情况下，尤其是在研究的早期，学生的自信心普遍比较缺乏。遇到一些研究的挫折和障碍时，很容易陷入沮丧情绪，产生退缩的心理。这种时候章志飞一方面会在心理上多加鼓励，帮助学生建立信心；另一方面也会必要地介入一些研究细节，协助他们跨过一些确实有困难的障碍。而一旦度过了最困难的时刻，完成了从零到一的跨越，学生的信心就会极大提升，后续的研究就可以让他们放手去做。
在流动的数学与生活中，依然有很多公开问题等待章志飞去解决。无论是更好地用数学工具理解湍流的行为，还是努力建设世界一流的数学学科，都是复杂度很高的问题，对如何解决这些问题，章志飞也在谦虚的回答中流露出一丝期待：“如果我们都把自己的工作做好，教好课，带好学生，做好自己的科研，努力地追求自己的目标的话，相信一定会有收获。当然更多地要靠年轻一代的努力！”
