编者按：四年一届的国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的全球性数学学术会议。会议旨在促进高水平的学术交流，在开幕式上将颁发“菲尔兹奖”等世界著名的数学大奖。会议期间，将有世界各地从事国际数学前沿研究的著名数学家报告他们所在领域的重大科研成果。ICM报告人身份是极高的学术荣誉，是一个数学家的工作获得国际学术界认可和关注的重要标志。
2022年7月，第29届国际数学家大会将在俄罗斯圣彼得堡举行。今秋，2022年圣彼得堡国际数学家大会官网上公布了本届报告人名单，5位welcome欢迎光临威尼斯公司数学学科教师：鄂维南、朱小华、章志飞、董彬、刘毅受邀成为报告人，其中鄂维南院士将作一小时报告。另有8位北大校友将作45分钟报告，他们分别是：丁剑、李驰、刘钢、汪璐、王国祯、徐宙利、周鑫、朱歆文。
徐宙利，2004年至2011年就读于welcome欢迎光临威尼斯公司，获学士学位和硕士学位，2017年获芝加哥大学博士学位，2017至2020年于麻省理工学院任职摩尔讲师（Moore Instructor），现任加州大学圣地亚哥分校助理教授。主要研究领域是代数拓扑和稳定同伦论，具体是经典的、母体（motivic）和等变的球面稳定同伦群计算及其在色展（chromatic）同伦论和几何拓扑中的联系和应用。2016年获得芝加哥大学研究生的最高荣誉--哈珀毕业论文奖。在Annals of Mathematics, Acta Mathematica等国际顶级期刊上发表数篇论文。
Q：您是明年ICM的45分钟报告人，请您分享一下受邀成为报告人的感想以及您做报告的内容。
A：受到国际数学家大会的邀请我非常激动也非常荣幸。报告的内容是球面的稳定同伦群的计算和母体（motivic）同伦论，主要介绍我跟王国祯等人的一些工作，关于使用母体同伦论来进行经典的球的稳定同伦群的计算。
Q：能否用较为通俗的语言介绍一下您的研究领域？
A：我研究的领域是代数拓扑学。顾名思义，就是用代数的方法研究一些拓扑学里面的问题。球面的稳定同伦群的计算是拓扑学中的一个基本问题，是关于不同维数球面之间联系的问题。母体同伦论是代数几何学和代数拓扑学的一个交叉分支。
Q：计算球的同伦群是同伦论的一个核心问题。请问您是如何来到这个研究领域的？
A：我记得很清楚，是在大三的国庆节期间，我在北大理科一号楼地下的康美乐健身房跑步，旁边正好是上学期刚刚教过我复变函数课的范后宏老师。我跟他搭讪聊天。他说你上过我的课，上学期考得怎么样，我说考得不太好，然后我们就不聊数学了，开始四处瞎聊，但聊着聊着还是回到了数学，这可能是因为范老师真的很爱聊数学。
他问我对什么数学分支比较感兴趣，我说拓扑学。我当时正好在上同调论这门课，很喜欢里面既用到了空间的直观，又有比较代数的思维方式（我的分析学不是特别好），而且证明的结论也都非常漂亮。范老师说他就是研究拓扑学的，然后就提到了球面的同伦群这个拓扑学的一个基本问题以及它的一些进展，并给我科普了这个问题跟很多其他数学问题的联系。
我当时非常吃惊。这个问题如此基本，就连大三学生的我都能听懂，但是大家对它却所知甚少。这极大地激发了我的好奇心。我非常想知道人们用了什么方法，并也想要自己试试看。就是那天，我对将来做数学研究产生了很大的兴趣。其实我当时并不确定自己将来会不会读博，乃至做数学研究。但范老师重新激起了我对数学的好奇心，所以之后就接着学了下去。还有一个原因可能是我同调论最后考得还不错，九十多分，我就觉得这个事情我还可以干（笑）。
Q：您之前有两篇文章是分别关于61和62这两个维数的，这两个维数有什么特别的地方？
A：先说说62吧。微分拓扑学里面有一个很基本的问题，就是什么时候一个拓扑流形上面有微分结构。当这些概念刚提出来的时候，大家可能觉得所有的拓扑流形上都有微分结构，所以并不太区分这两个概念。后来Kervaire在六十年代第一次发现了一个没有任何微分结构的拓扑流形，并用他定义的Kervaire不变量给出证明。Kervaire发现的这个流形在十维，我们现在知道这种现象最低可以在四维发生。
然后Kervaire和Milnor做了一系列的工作，讨论了一系列这方面的问题：球面上是否存在怪异的微分结构，有多少个，如何分类……例如，Milnor发现的七维怪球，它其实是七维球面的28个微分结构之一；跟自身连通和28次，就得到了标准球面。
他们的工作把分类球面上的微分结构问题划归成了两个问题：一个是关于Kervaire不变量的问题，另一个是计算球面稳定同伦群的问题。后来Browder发现Kervaire不变量的问题也可以归结成一个球面稳定同伦群的问题。基于他的结果，非平凡的Kervaire不变量只会在2的方幂减2这样的维数才可能会出现，62就是这样的一个维数。我的一篇文章就是解决了62维的强版本的Kervaire不变量问题。
61维是我和王国祯合作的一个结果，我们证明了61维球面上的微分结构是唯一的。基于很多前人的工作，我们证明了奇数里面只有1、3、5、61这4个维数，球面的微分结构是唯一的。奇数维解决后，一个很自然的问题是偶数维情形。我们知道四维是非常难的——也就是著名的四维光滑庞加莱猜想。对于大于4的偶数维中，我们知道6维、12维和56维球面上的微分结构是唯一的，在这之外偶维数球面的微分结构是否都不唯一还是一个猜想。最新的进展是对于其中一半以上的维数，这个猜想是对的。5、6、12、56、61这5个球面微分结构唯一的维数，我每次买彩票都喜欢买，可惜还没有中过，如果中的话这个定理就值钱了（笑）。
61维球面的定理收录在本科生教材中
Q：您的合作者王国祯跟您一样都是数院04级本科生、08级硕士生，此后也有很多的合作。你们之间有没有什么有趣的故事可以分享一下？
A：我和王国祯不但是本科硕士的同学，我们硕士还住一个宿舍，并且都是范后宏老师的学生。王国祯非常厉害，是我们级当之无愧的第一，他在学校的时候所有数学专业课不是100就是99。
这有一个关于国祯兄的小故事：当时我在波士顿，我们经常用微信探讨数学问题，有时还会写在纸上拍照交流，这样当然很不方便。有一次我们用微信激烈地讨论问题，已经讨论到我那边的半夜两三点了，我就提议打电话交流。国祯兄说“今天可能不太行，因为我刚结完婚”（笑）。那时我才知道他那天在办婚礼，婚礼前后也一直在和我交流数学，我觉得这事还挺有意思的。
Q：研究中有没有一些困难让自己记忆深刻，最后又怎样被解决？
A：困难肯定是经常有的。研究数学问题都是这样，大多数时间其实都没有什么特别大的进展。
我印象比较深刻的一次是在和王国祯合作61维球面这个结果的时候。当时是暑假，我在芝加哥，王国祯在国内还是欧洲，我们俩之间有时差。我们当时已经解决了这个问题的大部分，在我们本认为应该不太难的一步，却卡了好几周。我们尝试了各种各样的方法，但是都搞不定。
有一天晚上，我这里已经是半夜3点多了，我正躺在床上玩手机，突然收到王国祯的邮件，说他有一个新的想法。我看到邮件立刻睡意全无，爬起来找了几张纸就开始算，算了几个小时之后，觉得好像确实找到了一个非常细致的证明，就赶紧给他写邮件，这部分证明最终成立了，在论文中占据了十几页。
我觉得合作真的很重要。大家可以有各种不同的角度，对于同一个问题确实可以起到互补的作用。那次印象很深刻，因为我半夜爬起来开始做，最后还做出来了。事实上，半夜突然有个想法，然后起来花时间这种情形时有发生，但大多数时候最终徒劳无果，然而那次成功了。
2021年于美国纽约
Q：您研究中的具体计算里用到了母体同伦论，而母体最初来源于代数几何和数论。您可以谈谈代数几何、数论和同伦论之间的联系吗？
A：母体这个词最早来源于代数几何里面，是Grothendieck的一个梦想。代数几何里面也有各种各样的上同调理论，比如奇异上同调、平展上同调和晶体上同调等等。笼统来讲，Grothendieck希望构造出一个对于这些上同调理论都具有某种万有性质的范畴，其中的对象被称为母体，其他的事物都是母体衍生出来的。后来Voevodsky和Morel用抽象同伦论构建了一个理论，部分实现了Grothendieck的梦想，并且Voevodsky用这个理论成功解决了Milnor猜想，Bloch-Kato猜想等代数几何、数论里的一系列大猜想，他也因此在2002年获得了菲尔兹奖。现在大家将这个理论称为母体同伦论。
我们这次ICM报告的工作是将母体同伦论跟经典代数拓扑中的色展（chromatic）同伦论联系起来。这其实是大家意料之外的发展方向，因为设计母体同伦论的初衷是解决代数几何和数论问题，这些新的联系使我们可以用母体方法解决一些经典同伦论问题。
Q：在您的母体形变那篇文章里面，您先通过比较计算的结果，发现了一个理论的结果，然后又用这个理论结果去推进计算的范围。您如何看待理论和计算之间的关系？
A：这是一个挺有意思的故事。我们当时在算两个不同的谱序列，都挺复杂。一个之前已经算出来了，另一个是王国祯编计算机程序跑出来的，因为同调代数的计算是可以借助计算机辅助的。有意思的是，虽然我们算的不是同一个东西，出来的结果却是一样的，这立刻让我们明白这两个数学对象应该是等价的，即使它们的来源大不相同。随后我们在计算和理论两方面都提出了一些猜想，并给出了证明。
我觉得计算和理论是代数拓扑中两种不同的数学风格。一方面，代数拓扑是关于不变量的学科，那自然就需要把这些不变量具体地计算出来。另一方面，这些不变量又是具有高阶的自然性的，就衍生出了抽象的理论，比如抽象同伦论。我自己的总结是“一花一世界”，有着从一个小点就可以验证抽象的理论关系，进而推出很多结论的强大力量。这两种风格大相径庭，我觉得都很重要。
关于理论和计算的关系，我的感觉是抽象理论更漂亮。好的理论往往是历史沉淀下来的精华，最核心的理论也会永驻于历史长河中。但是另一方面，这些理论并非凭空产生，而是基于大量的例子。大量的计算被总结成规律，才有了理论的存在，更不用说很多复杂的计算本身就是很优美的。因此我认为这两个方面都很重要。就我个人而言，刚开始是以计算为主，后来也开始使用稳定无穷范畴这样的理论工具。我认为计算和理论在研究中相辅相成，都值得被重视。
Q：您在计算中使用了计算机的辅助，您如何看待计算机在计算同伦论中的地位？
A：现在很多具体计算问题，代数结构可能越来越复杂，涉及到的数据信息也会越来越多。比如经典的同调论，它以整数为分次，每个整数给出一个对应维数的同调群。但是在等变同伦论里，可以定义RO(G)分次，把整数扩展成群的实表示环，这里的信息在等变同伦论中非常重要。即使G是有限阿贝尔群，随着群的阶数越来越大，RO(G)中Z的分量个数越来越多，分次就从一个Z变成两个Z，三个Z，越来越复杂，手动计算也越来越困难，所以计算机的辅助也越来越有用。事实上，现在很多计算中都有着计算机的身影，比如同调代数里的一些运算，即使有手动计算的方法，但当计算量过于庞大时，借助计算机计算大有帮助。
另一方面，计算机只跑程序，在有限时间内给出有限的数据，因此无法证明一个无限的定理。计算机的辅助计算更多是给我们一些启示，让我们可以从计算结果里面找到规律，最终再给出逻辑上的证明，解释为什么这样的规律是普遍存在的。
Q：在Lurie的三本千页著作（高等拓扑斯理论、高等代数、谱代数几何）问世之后，无穷范畴正逐渐取代模型范畴成为同伦论的主流语言，您是如何看待无穷范畴？Lurie的这些著作卷帙浩繁，艰深晦涩，完全理解需要大量精力，您在应用无穷范畴的时候怎样跨过这道门槛？
A：我觉得无穷范畴理论也不能说已经完全取代了模型范畴理论，但说它成为同伦论中的主流语言问题不大。老一辈的很多数学家，比如我导师Peter May等人，更习惯用模型范畴的语言来刻画一些事情。每当有一个新的理论出现，一个自然的问题是这个新的理论能否解决旧的理论无法解决的问题。我觉得无穷范畴在刚出来的一段时间里并没有达到这个效果，所以老一辈的人当初不太接受。现在当然已经可以达到这个效果，它被广泛接受是有很多原因的，部分原因是它的语言比较自然，理解它的逻辑后，在这个语言框架下，说话不容易说错。现在很多数论学家，如Peter Scholze等人，都开始在文章里大量使用无穷范畴语言了，这标志着数学界越来越多的主流数学家开始接受无穷范畴了。就我个人而言，我们之前试图用模型范畴的语言证明一个结论，但证不出来，后来我们用稳定无穷范畴的语言证出来了，所以我本人是非常信服的，因为它可以帮助我做到一件我想做却做不了的事情。
无穷范畴的书有三千多页，是Lurie做的奠基性的工作，所有细节都被写上去了。我觉得他的那些书更应当被视为一种工具，一个字典。要把这些书仔细看下来需要花费好几年时间，我觉得没必要把所有证明都仔细过一遍，毕竟已经有相当多的人读过了。更好的方法是把证明跳过去，相信他是对的，理解后面的想法，然后去在各种各样的例子上使用它。毕竟使用定理肯定比先检查这个定理怎么证明的要容易得多。
2017年于芝加哥大学博士毕业，右为导师Peter May
Q：同伦论起源于代数拓扑，经过多年发展之后，已经成为了一个相对独立的学科。您如何看待这门学科的前景与未来发展方向？
A：如你所说，同伦论起源于代数拓扑，拓扑学一个主要的研究对象是流形。代数拓扑在高维流形中取得了不少辉煌的结果，高维很多分类问题都清楚了之后，大家就开始研究低维流形。此时经典代数拓扑的不变量就不够用了。差不多在这个时候，代数拓扑和低维拓扑就分道扬镳了。低维拓扑跟其他许多数学分支产生了各种各样的联系，比如四维流形跟规范场理论的深刻联系。这些带有数学物理背景和PDE风格的理论使大家得以定义一些新的不变量。研究这些低维拓扑问题往往需要先研究清楚上面的分析学问题。另一方面，代数拓扑尤其是稳定同伦论逐渐关心各种各样的广义同调论的抽象性质和背后的一般规律，之后的发展开始变得抽象化，把同样的思想方法进行推广，并应用到如数论和代数几何这些更加有代数风格的数学领域。
近些年来，同伦论的思想方法又回到了一些低维流形的理论中。从代数拓扑的角度来讲，所有的同调论背后都是同伦论，因为同调是同伦不变量，比如低维流形中的一些Floer同调理论，最新的一些研究认为其背后都应该有一个稳定同伦类型。另外最近我和北大05级的林剑锋等人合作得到了一个四维流形里关于11/8猜想的结果，我们在其中也使用了同伦论的方法和技巧。
关于同伦论之后的前景和发展方向，我觉得由于它研究的是非常基本的等价关系，它的思想可以被用到很多其他数学分支当中，于是每隔一段时间就有一个意料之外的同伦论在其他数学分支里的应用。一个例子就是我之前说的Voevodsky用抽象同伦论解决数论里面的一些猜想。再近一点的Kervaire不变量问题，它是一个高维微分几何里面的问题，这个问题最近由Hill-Hopkins-Ravenel用等变同伦论和色展同伦论给出了一个除了126维之外的完全的解决，此项工作获得了美国数学会颁发的Veblen几何奖。Kervaire不变量问题本身和群作用没有什么关系，但它的解决最终本质上地用到了有群作用的等变同伦论，之前谁都没有想到，最近还有用同伦论解决辛几何里面一些猜想的例子。所以我对于这个学科的前景非常看好，因为它每隔一段时间都会重新带火一个交叉学科（笑），然后会迫使其他学科的人了解一定的同伦论。
Q：在北大的7年的时间里，您认为自己最大的收获是什么？
A：最大的收获是结识了很多有共同兴趣、志同道合的同学、校友，我觉得这是十分珍贵的。我博士是在芝加哥大学，刚到芝加哥大学的时候，01级的肖梁老师在那里当讲师。我当时遇到不会的数论问题，就去问他，对我帮助很大。我有一个好朋友，04级的马临全，他是研究交换代数的，所以我每次有交换代数方面的问题，我也会去问他（笑）。在异国他乡有很多这样的校友感觉是非常好的，就像遇到了亲人一样。我在MIT的时候认识了传说中的“黄金一代”许晨阳、恽之玮、张伟几位师兄，有种追星成功的感觉（笑）。作为一个北大人，不断听到他们研究上的新成果，就很能够激励自己，这是一种很独特的感觉。
Q：在北大学习生活期间，哪些老师让您印象比较深刻，他们是如何潜移默化影响您现在的研究呢？
A：使我印象深刻、对我很好的老师有很多，我着重谈谈范后宏老师吧，因为我受他影响是最大的。我跟范老师做了本科生科研，硕士也是跟范老师读的。在此期间，他教授了我很多思维思想方面的认识，对我的影响非常深远。
范老师非常强调例子的重要性。我当年学数学总会偏好抽象的东西，范老师告诉我，抽象的理论背后都是例子，当你真正完全理解这些例子之后，那些抽象的理论也就相对容易了。我的理解是，例子的积累有点像武侠小说里面修炼内功这样一种感觉，熟悉的例子多了，才能脚踏实地。直到现在，我想问题的时候如果遇到一些抽象的命题，第一想法也是找一些简单的但不那么平凡的例子来尝试。很多时候对各种各样的例子搞明白了，可能一般情形就知道该怎么证了。
范老师还着重培养评价问题的能力。他认为当看到一个命题，在想这个命题该怎么证之前，应该先去想这个命题到底意味着什么，结论有多强，强在什么地方，和其他结论比能额外说明什么，能用在哪些地方，然后就可以反过来去考虑它哪些条件比较重要。当慢慢进行很多这样的思考之后，评价定理和问题的能力会有所提高，就会慢慢开始培养自己提出问题的能力。只有当自己能评价什么样的问题是好问题的时候，才有可能提出好的问题。这对于将来做问题时选择研究方向是非常重要的。数学问题非常多，分支也非常多，一般人很难有那么多时间把所有数学都学得非常精，所有问题都去做，这个时候就要有所选择，需要有一套自己的判断体系。因此，什么样的问题是好问题、更值得去做，锻炼这样的评价能力，对我影响很深远。
2016年于北大未名湖
Q：您平时的工作状态是怎么样的呢？
A：我是一个喜欢夜里工作的人。有人说永远不要相信晚上做出来的数学结果，其实我是不太同意的，因为迄今为止，我还没有在白天想出来过任何问题，我几乎所有的数学结果都是半夜12点之后做出来的（笑）。白天我总是不会特别专注，晚上夜深人静，我特别喜欢就放一盏小台灯，除了灯下面这一圈可以看到，桌面别的地方都是黑的，这样特别能够帮助我集中注意力思考。但是想出来之后，第二天肯定要再检查一下，看看是否真的成立。
Q：请问您如何做好科研和生活的平衡？
A：我的兴趣爱好比较广泛，所以我觉得比较重要的一点是劳逸结合。引用两句话吧：“劳逸结合是不错，但也别放松过头哦”，“耽误太多时间，事情可就做不完了”。
Q：现在“卷”这个字非常流行，您在北大读书期间有感觉到压力比较大、大家比较卷的这种现象吗？
A：我本科的时候不是特别刻苦，而且和我们级的大多同学相比，我年龄小一点，所以并没有太多的压力。北大的同学们都很厉害，有的竞赛成绩很好，有的超前地学了很多知识，我觉得还是要找到自己的节奏。
在我发现自己对拓扑学的兴趣之后，就完全没有这方面压力了，取而代之的是很强烈的求知欲，想去学很多东西。我觉得数学研究最大的动力是好奇心，好奇心得到满足是一件非常幸福的事情，找到自己的兴趣，研究数学本身是一件非常快乐的事情。
Q：您在北大的生活中最喜欢去的地方是哪？
A：我最喜欢去的地方是数院的本科生阅览室，我还做过管理员。在那个地方可以读书学习，也可以带着电脑去玩，无拘无束，那是一个可以待到很晚的地方，而且那里的团体氛围也非常好，我很喜欢那里。
Q：如果您现在能够马上传送回北大，你下意识想做的第一件事情是什么？
A：我想去吃康博思的香辣鸡腿饭（笑），但我听说康博思已经没有了。
Q：是的，康博思已经没有了，升级为了更好的家园食堂，但鸡腿饭还在，欢迎您下次回来吃。
A：好的，非常惦记这个东西（笑）。
